Potensfunktion

Regneforskrift:



Graf:

potensgraf.png



Betydning af konstanter a og b:

Du kan eksperimentere med konstanterne a og b i nedenstående interaktive graf:
Træk i skyderne i højre side.
This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Vækstegenskaber:potensvækst.png

Vækstegenskaben kan udtrykkes på flere måder:
  1. Procent - procent vækst
  2. Når x vokser med en konstant procent, så vokser eller aftager funktionsværdien med en konstant procent.
  3. Og endelig med matematisk notation:

Ofte bruges en anden notatio:


Se dette pencast om potensvækst (link 4:46 min)
OBS: et pencast er en interaktiv video (prøv at klikke på teksten i videoen)

Potensvækst

Nedenstående interaktive graf illustrerer potensvækst. Potensvækst kan kort karateriseres som ''procent-procent'' vækst. Vokser x med en faktor Fx, vil y-værdien vokse/aftage med en faktor Fy. Prøv at arbejde med grafen ved at gøre følgende.
1) Aflæs tallene på akserne i hver ende af den røde og grønne linie og beregn Fx og Fy. Se at det stemmer overens med de værdier, der er angivet.
2) Variér a og se at 0>Fy>1 når a<0 og at Fy>1 når a>0.
3) Vækstsætningen for potensvækst siger, at hvis x vokser med en faktor Fx vil y-værdien vokse/aftage med en faktor Fxa, dvs at

Variér på størrelserne og bestem nogle værdier af Fx og Fy og se at det er rigtigt at Fy=Fxa. Prøv regne efter.

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com


Opgaver med funktionstypen:

(Her kan fx. linkes til nspire-dokumenter eller worddokumenter med opgaveregning)


Beviser

Et filmklip der beskriver potensfunktionens egenskaber

Her er et bevis for formlen a=log(y2)-log(y1)/log(x2)-log(x1)

Vi starter med at indsætte (x1,y1) & (x2,x1) i forskriften y=b*^a og får derved to ligninger:

y1=b*x1^a & y2=b*x2^a Vi isolere b i ligning et og indsætter udtrykket i ligning to:

y2=y1/x1^a*x2^a Vi flytter x2^a op i tælleren ved hjælp af brøkregnereglerne og dividere med y1 på begge sidder og bruger potensregnereglen a^n/b^n=(a/b)^n

Derved får vi: y2/y1=(x2/x1)^a. Det er nu muligt at isolere a ved at bruge log(a^x)=x*log(a): log(y2/y1)=a*log(x2/x1).

Til sidst dividere vi med log(x2/x1) på begge sider af lighedstegnet, og bruger reglen log(a/b)=log(a)-log(b) og får:

a=log(y2)-log(y1)/log(x2)-log(x1)

Animationer

PotensFunk.gif PotensFunkGraf.gif